Los Cubos de MacMahon

Hace unos días, mi amigo Fabio me planteó el problema de los Cubos de MacMahon.

La idea es simple, se toma un cubo y se pintan sus caras con 6 colores distintos.

Es más o menos fácil ver que hay 6! (=720) distintas formas de pintar de colores las caras de un cubo.



Bueno, se sabe que hay 24 formas de hacer rotar un cubo así que si tomamos una de esas "coloraciones" la hacemos rotar, encontramos que 24 de esos cubitos son el mismo. De ellos nos quedamos sólo con uno.

Si tomamos otro de los que sobran, y volvemos a repetir el proceso obtendremos otros 24 y, de nuevo, nos quedamos sólo con uno.

Continuamos este proceso es fácil ver que hay 720/24= 30 cubos que no son equivalentes bajo rotaciones.

Esos 30 cubos se llaman los cubos de MacMahon. Hay que hacer notar que, en las fotos, todos están descansando sobre su cara morada.

Hay un acertijo que dice: Tómese uno de los cubos, hay que encontrar otros 8 cubos de manera que con ellos se arme un cubo 2x2x2 cuyas caras tengan los mismos colores que el cubo dado y en la misma disposición y además, si dos cubos tiene caras adyacentes, éstas deberán tener el mismo color.

Según John Horton Conway, el problema de arriba siempre tiene solución, y los cubos que duplican al cubo dado son únicos.

J. H. Conway dispuso a los cubos en una matriz 6x6



y, dado el cubo en la posición (i,j) [marcador negro], se fija uno en el cubo (j,i) [marcador verde]



y se toman los cubos de la fila j y la columna i para armar el cubo de la posición (i,j) como se muestra:



y con esos cubitos se arma el cubo grande. Por cierto, para cada cubo, hay dos soluciones que pueden armarse con sus 8 cubitos.

Aquí se muestra cómo se arma uno de los cubos. Hay que notar que todos los cubos están sobre su base (morada).



luego el segundo nivel:



y luego visto por atrás:




Aquí vemos la segunda solución:

Primer nivel:



Segundo nivel:



y visto por atrás:



Es impresionante la agudeza de Conway.

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Otro problema que podría plantearse es al revés. Dados ocho de los cubos de MacMahon, hay que ver si es posible armar con ellos un cubo 2x2x2 con las condiciones de arriba. Este problema no siempre tiene solución, pero si el problema puede resolverse, los cubos que lo forman son los que da Conway y hay exactamente dos formas de armar dichos cubos para obtener la solución.

Pero otro detallito de este problema es que los cubos elegidos pueden ponerse en 8! distintas posiciones y luego cada uno de ellos tiene 24 posibles rotaciones, para un total de 8! 24**8
(=4,438,236,667,576,320 [4 mil 438 billones, 236 mil 667 millones 576 mil, 320]) posibilidades... ¡Son un montón! Pero este árbol de posibilidades puede podarse mucho.

El problema llamó mi atención y quise resolverlo con mi computadora, pero haciendo alarde de locura ocurrió que:

El programa calcula todas las rotaciones que pueden aplicarse a un cubo y el programa obtuvo las 24 que hay.

Se calculan todas las posibles coloraciones de los cubos y se encuentan los 30 distintos que hay.

Se encuentran las 24 rotaciones de cada cubo.

Se encuentran todas las elecciones de 8 cubos tomados de 30 (que son en total: 5,852,925) y se explora la posibilidad de armar con cada elección la duplicación de alguno de los cubos.

El programa muestra que los 8 cubos que duplican a un cubo, son únicos y que existen dos formas de duplicar con ellos al cubo que duplican.

En una computadora con Linux Ubuntu ver. 2.6.31.20, 64bits, 2GB RAM/Intel Core 2 Duo a 3GHz, el programa tarda 4min 38 seg en ejecutarse.

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Conclusiones:

Mis cubos de foamy permiten ver el color de TODAS las caras de un cubo sin necesidad de voltearlo.

Conway es el dios de los rompecabezas; yo, sólo soy un humano que hace alardes de ser extraordinariamente brutal para resolver problemas.


Resultados del programa